19. yüzyıl boyunca matematik giderek soyut hale geldi. 19. yüzyılda Carl Friedrich Gauss yaşamıştı (1777–1855). Bilime yaptığı birçok katkıyı bir kenara bırakırsak, saf matematikte karmaşık değişkenli fonksiyonlar, geometri ve dizilerin yakınsaklığı hakkında devrimci çalışmalar yaptı. Temel cebir teoreminin ve ikinci dereceden karşıtlık yasasının ilk tatmin edici ispatlarını sundu.

           Bu yüzyılda Öklidsel olmayan geometrinin iki biçiminin gelişimi gözlendi ve Öklid geometrisinin paralellik postülatı artık geçerli değildi. Rus matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky ve rakibi, Macar matematikçi János Bolyai birbirlerinden bağımsız bir şekilde hiperbolik geometriyi tanımlanmış ve bunun üzerinde çalışmışlardır. Bu geometride paralelliklerin benzersizliği artık geçerli değildi. Bu geometride bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° ‘den küçüktür. Daha sonra 19. yüzyılda Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından Eliptik geometri geliştirildi. Bu geometride hiçbir paralel bulunamaz ve bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° ‘den büyüktür. Riemann ayrıca Riemannian geometrisini de geliştirdi. Bu geometri üç tip geometriyi birleştiriyor ve büyük ölçüde genelleştiriyordu. Ve Bernhard Riemann ayrıca, eğri ve yüzey fikirlerini genelleştiren amanifold kavramını tanımladı. 19. yüzyılda soyut cebirin büyük bir bölümünün başlangıcı görüldü. Almanya’dan Hermann Grassmann Vektör Uzaylarının ilk versiyonunu sundu ve İrlanda’dan William Rowan Hamilton nonkomutatif cebiri geliştirdi. İngiliz matematikçi George Boole sayıları sadece 0 ve 1 olan ve günümüzde Boolean cebiri olarak adlandırılan bir cebir tasarladı. Boole cebri matematiksel mantığın başlangıç noktasıdır ve bilgisayar biliminde önemli uygulamalara sahiptir. Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann ve Karl Weierstrass kalkulusu daha titiz bir şekilde yeniden formüle etti. Ayrıca ilk defa, Matematiğin sınırları keşfedildi. bir Norveçli Niels Henrik Abel ve bir Fransız Évariste Galois dördüncü dereceden daha büyük polinom denklemlerin çözümü için hiçbir genel cebirsel yöntem olmadığını kanıtladı (Abel–Ruffini teoremi).

           Diğer 19. yüzyıl matematikçileri, verilen bir küpün iki katı hacmindeki bir küpün kenarını oluşturmak ya da verilen bir dairenin alanına eşit bir kare oluşturmak amacıyla gelişigüzel bir açıyı üçe bölmek için yalnızca cetvel ve pergelin yeterli olmadığını ispat ederken bunu kullandı. Eski Yunanlardan beri matematikçiler tüm bu problemleri çözmek için boşuna uğraştı. Diğer taraftan, 19. yüzyılda geometrideki üç boyut sınırlaması parametre uzayı ve hiper-kompleks sayılar vasıtasıyla aşıldı.

           Çeşitli polinom denklemlerin çözümleri ile ilgili Abel ve Galois ‘in yaptığı araştırmalar, grup teorisinin ve soyut cebirin ilişkili alanlarının daha da gelişmesi için zemin hazırladı. 20. yüzyılda fizikçiler ve diğer bilim adamları simetri üzerinde çalışmak için ideal bir yol olarak grup teorisini gördü. 19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor küme teorisinin ilk temellerini kurdu. Bu teori sonsuzluk kavramının sıkı bir şekilde ele alınmasına olanak verdi ve neredeyse tüm matematiğin ortak dili haline geldi. Cantor'un küme teorisi ve matematiksel mantığın Peano, L. E. J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell ve A.N. Whitehead ‘in ellerinde yükselmesi matematiğin temelleri hakkında uzun soluklu bir tartışma başlattı. 19. yüzyılda bir dizi ulusal matematik derneği kuruldu: Londra Matematik Derneği (1865), Société Mathématique de France (1872), Circolo Matematico di Palermo (1884), Edinburgh Matematik Derneği (1883) ve Amerikan Matematik Derneği (1888). İlk uluslar arası özel dernek Quaternion Society, bir vektör tartışması bağlamında 1899 yılında kuruldu.